В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что BC=9, CD=3, CC₁ =7. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, Д, С₁.

Решение:

Объём параллелепипеда вычисляется по формуле \( V_{параллелепипеда} = a \cdot b \cdot c \), где \( a, b, c \) — длины его рёбер. В данном случае рёбра параллелепипеда равны \( AB = CD = 3 \), \( BC = 9 \), \( CC_1 = 7 \).

Объём параллелепипеда \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) равен \( V = AB \cdot BC \cdot CC_1 = 3 \cdot 9 \cdot 7 = 189 \) кубических единиц.

Многогранник, вершинами которого являются точки \( A, B, C, D, C_1 \), представляет собой треугольную пирамиду \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с основанием \( ABCD \) и вершиной \( C_1 \). Однако, задача просит найти объём многогранника, вершинами которого являются точки \( A, B, C, D, C_1 \). Это означает, что основанием является четырёхугольник \( ABCD \), а вершиной \( C_1 \).

Такой многогранник можно рассматривать как пирамиду с основанием \( ABCD \) и вершиной \( C_1 \). Её объём равен \( V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \times S_{основания} \times h \).

Площадь основания \( ABCD \) (прямоугольник) равна \( S_{ABCD} = AB \times BC = 3 \times 9 = 27 \).

Высота пирамиды равна высоте параллелепипеда, \( h = CC_1 = 7 \).

Объём многогранника \( V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times CC_1 = \frac{1}{3} \times 27 \times 7 = 9 \times 7 = 63 \) кубических единицы.

Ответ: 63