В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°. ∠A = 30°, AC = 10 см, CD - высота, проведенная к стороне AB, DE – перпендикуляр, проведенный из точки D к стороне АС. Чему равна длина АЕ? 1) 8 см 2) 6 см 3) 5 см 4) 7,5 см

В прямоугольном треугольнике ABC с углом ∠A = 30° и AC = 10 см. CD - высота, DE перпендикулярна AC.

Рассмотрим треугольник ADC. Угол ∠DAC = 30°. Так как DE перпендикулярна AC, то треугольник ADE также прямоугольный с углом ∠DEA = 90°.

В треугольнике ADC угол ∠ACD = 90° - 30° = 60°.

В треугольнике ADE угол ∠ADE = 90° - 30° = 60°.

Теперь рассмотрим треугольник ADE. Так как ∠DAE = 30°, то катет DE, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы AD.

Найдем AD из треугольника ADC. cos(30°) = AD / AC, следовательно, AD = AC * cos(30°) = 10 * √3 / 2 = 5√3.

Тогда DE = AD / 2 = (5√3) / 2.

Теперь найдем AE из треугольника ADE. cos(30°) = AE / AD, следовательно, AE = AD * cos(30°).

AE = AD * cos(30°) = 5√3 * (√3 / 2) = 15 / 2 = 7.5 см.

Ответ: 4) 7,5 см