8. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90° и ∠A = 30°, проведена медиана CM и биссектриса MD ∠CMA. Найдите MD, если BC = 23 см.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, AB = 2 * BC = 2 * 23 = 46 см. CM - медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, следовательно, CM = AB / 2 = 46 / 2 = 23 см. Так как CM = AM, треугольник ACM – равнобедренный, следовательно, ∠MCA = ∠MAC = 30°. MD - биссектриса ∠CMA, следовательно, ∠CMD = ∠DMA = (180° - 30° - 30°) / 2 = 120° / 2 = 60°. Рассмотрим треугольник CMD. ∠MCD = 90° - ∠MCA = 90° - 30° = 60°. Следовательно, треугольник CMD – равносторонний, и MD = CM = 23 см. Ответ: MD = 23 см