В прямоугольном треугольнике ABC ∠B=90°, AB = 8 см, AC = 16 см. Найдите углы, которые образует высота BH с катетами треугольника.

Краткая запись:

• Треугольник ABC, ∠B = 90°.
• AB = 8 см, AC = 16 см.
• BH - высота (H на AC).
• Найти: ∠ABH, ∠CBH.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем острые углы треугольника ABC. В прямоугольном треугольнике, где известны катет и гипотенуза, используем тригонометрию. Для угла ∠BAC (обозначим его α):
   \( \sin(\alpha) = \frac{BC}{AC} \). Нам нужен BC.
2. Шаг 2: Найдем BC по теореме Пифагора:
   \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
   \( 16^2 = 8^2 + BC^2 \)
   \( 256 = 64 + BC^2 \)
   \( BC^2 = 256 - 64 = 192 \)
   \( BC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3} \) см.
3. Шаг 3: Теперь найдем угол ∠BAC (α):
   \( \sin(\alpha) = \frac{BC}{AC} = \frac{8\sqrt{3}}{16} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
   Следовательно, \( \alpha = 60° \).
4. Шаг 4: Найдем угол ∠BCA (обозначим его γ):
   \( \alpha + \gamma = 90° \)
   \( 60° + \gamma = 90° \)
   \( \gamma = 30° \).
5. Шаг 5: Рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный, так как BH - высота. ∠AHB = 90°. Угол ∠BAH = ∠BAC = 60°. Сумма углов в треугольнике ABH: ∠ABH + ∠BAH + ∠AHB = 180°.
   ∠ABH + 60° + 90° = 180°.
   ∠ABH = 180° - 150° = 30°.
6. Шаг 6: Рассмотрим треугольник CBH. Он прямоугольный, так как BH - высота. ∠CHB = 90°. Угол ∠BCH = ∠BCA = 30°. Сумма углов в треугольнике CBH: ∠CBH + ∠BCH + ∠CHB = 180°.
   ∠CBH + 30° + 90° = 180°.
   ∠CBH = 180° - 120° = 60°.
7. Шаг 7: Проверим: ∠ABH + ∠CBH = 30° + 60° = 90°. Это равно углу ∠ABC, что верно.

Ответ: Высота BH образует с катетом AB угол 30°, а с катетом BC угол 60°.