В прямоугольном треугольнике биссектриса наименьшего угла пересекает катет под углом 110°. Найдите острые углы данного треугольника.

Краткая запись:

• Треугольник ABC, ∠B = 90°.
• Биссектриса BL (L на AC).
• ∠BLA = 110°.
• Найти: ∠BAC, ∠BCA.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть биссектриса проведена из наименьшего острого угла. Обозначим острые углы как α и γ, где α + γ = 90° и α < γ. Пусть биссектриса проведена из угла A, т.е. ∠BAC = α. Биссектриса AL делит угол A пополам: ∠BAL = ∠CAL = α/2.
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольник ABL. Угол ∠ALB является внешним для треугольника CBL. Поэтому ∠ALB = ∠CBL + ∠BCL.
3. Шаг 3: Мы знаем, что ∠CBL = 90° (прямой угол треугольника ABC). Нам дан угол 110°. Этот угол может быть ∠ALB или ∠CLB. Если ∠ALB = 110°, то ∠ALB = ∠CBL + ∠BCL => 110° = 90° + ∠BCL. Отсюда ∠BCL = 20°.
4. Шаг 4: Так как CL - биссектриса угла C (у нас это γ), то ∠BCL = γ/2. Значит, γ/2 = 20°, что дает γ = 40°.
5. Шаг 5: Найдем другой острый угол α: α = 90° - γ = 90° - 40° = 50°.
6. Шаг 6: Проверим условие: «биссектриса наименьшего угла». У нас углы 50° и 40°. Наименьший угол — 40°. Мы предположили, что биссектриса проведена из угла A (50°). Это противоречие.
7. Шаг 7: Значит, биссектриса проведена из наименьшего угла, который равен 40°. То есть, биссектриса проведена из угла C, ∠BCA = γ = 40°.
8. Шаг 8: Тогда ∠ACL = ∠BCL = γ/2 = 40°/2 = 20°.
9. Шаг 9: Рассмотрим треугольник ABL. Угол ∠ALB — внешний для треугольника CBL. ∠ALB = ∠CBL + ∠BCL = 90° + 20° = 110°.
10. Шаг 10: Условие выполнено: биссектриса (из угла C, который является наименьшим острым углом 40°) пересекает катет AB под углом 110° (∠ALB = 110°).
11. Шаг 11: Найдем второй острый угол: ∠BAC = α = 90° - γ = 90° - 40° = 50°.

Ответ: Острые углы треугольника равны 50° и 40°.