В прямоугольном треугольнике ABC ∠C=90°, AB = 10 см, BC = 5 см. Найдите углы, на которые высота CH делит угол C.

Краткая запись:

• Треугольник ABC, ∠C = 90°.
• AB = 10 см, BC = 5 см.
• CH - высота (H на AB).
• Найти: ∠ACH, ∠BCH.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем острые углы треугольника ABC. Для угла ∠CAB (обозначим его α) имеем:
   \( \sin(\alpha) = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).
   Следовательно, \( \alpha = 30° \).
2. Шаг 2: Найдем угол ∠CBA (обозначим его γ):
   \( \alpha + \gamma = 90° \)
   \( 30° + \gamma = 90° \)
   \( \gamma = 60° \).
3. Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH (так как CH - высота, ∠CHB = 90°). Угол ∠CBH = ∠CBA = 60°.
   Сумма углов в треугольнике BCH: ∠BCH + ∠CBH + ∠CHB = 180°.
   ∠BCH + 60° + 90° = 180°.
   ∠BCH = 180° - 150° = 30°.
4. Шаг 4: Высота CH делит угол C на два угла: ∠ACH и ∠BCH. Мы нашли ∠BCH = 30°.
5. Шаг 5: Найдем угол ∠ACH. Мы знаем, что ∠ACB = 90°.
   ∠ACH = ∠ACB - ∠BCH = 90° - 30° = 60°.
6. Шаг 6: Проверим. В прямоугольном треугольнике ACH (∠CHA = 90°): ∠CAH = ∠CAB = 30°. ∠ACH = 60°. Сумма углов: 90° + 30° + 60° = 180°. Верно.

Ответ: Высота CH делит угол C на углы 60° и 30°.