В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектриса угла B делит катет AC в отношении 13:12, считая от точки A. Найдите катет AC, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 13.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна диаметру описанной окружности: \(AB=2\cdot13=26\).

По теореме о биссектрисе, если точка пересечения биссектрисы с AC — D, то \(AD/DC=AB/BC=13/12\). Следовательно, можно положить \(AB=13k\), \(BC=12k\). Из \(AB=26\) получаем \(k=2\), значит, \(BC=24\).

По теореме Пифагора: \(AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{26^2-24^2}=\sqrt{100}=10\).

Ответ: 10.