В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне. Большее основание трапеции равно 12 см, угол при основании равен 30°. Найдите длину диагонали трапеции.

Пусть меньшее основание и боковая сторона равны \(x\). Проекция каждой боковой стороны на большее основание равна \(x\cos30°\), поэтому \(12-x=2x\cos30°=\sqrt3x\). Отсюда \(x=12/(1+\sqrt3)=6(\sqrt3-1)\).

Горизонтальная проекция диагонали равна половине суммы оснований: \((12+x)/2\). Высота трапеции равна \(x\sin30°=x/2\). По теореме Пифагора:

\(d=\sqrt{((12+x)/2)^2+(x/2)^2}=6\sqrt{4-\sqrt3}\approx8{,}99\) см.

Ответ: \(6\sqrt{4-\sqrt3}\) см, приблизительно 9,0 см.