21. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) к гипотенузе \(AC\) проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4: 7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Пусть \(ABC\) - прямоугольный треугольник с прямым углом \(B\). Пусть \(AC\) - гипотенуза, и \(KN\) - серединный перпендикуляр к \(AC\), где \(K\) - середина \(AC\) и \(N\) лежит на катете \(BC\). Соединим точку \(N\) с вершиной \(A\). По условию, \(AN\) делит угол \(BAC\) в отношении 4:7. Пусть \(\angle BAN = 4x\), а \(\angle NAC = 7x\). Тогда \(\angle BAC = 4x + 7x = 11x\). Так как \(ABC\) - прямоугольный, то \(\angle BAC + \angle BCA = 90^\circ\). Так как \(KN\) - серединный перпендикуляр к \(AC\), то \(NA = NC\). Следовательно, треугольник \(ANC\) - равнобедренный, и \(\angle NAC = \angle NCA = 7x\). Тогда \(11x + 7x = 90^\circ\), то есть \(18x = 90^\circ\), откуда \(x = 5^\circ\). Следовательно, \(\angle BAC = 11x = 11 \cdot 5^\circ = 55^\circ\), а \(\angle BCA = 7x = 7 \cdot 5^\circ = 35^\circ\). Ответ: \(\angle BCA = 35^\circ\).