В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 35, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 14√6. Найдите sin ∠ABC.

Пусть AB — гипотенуза. Обозначим sin ∠ABC = AC/AB, а cos ∠ABC = BC/AB.

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

1/2 · AC · BC = 1/2 · AB · CH.

Отсюда:

CH = AC · BC/AB = AC · cos ∠ABC.

Тогда:

cos ∠ABC = CH/AC = 14√6/35 = 2√6/5.

Используем основное тригонометрическое тождество:

sin² ∠ABC = 1 − cos² ∠ABC = 1 − 24/25 = 1/25.

Угол треугольника острый, поэтому sin ∠ABC = 1/5.

Ответ: 1/5.