138. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=75, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна $9\sqrt{69}$. Найдите sin∠ABC.

**Решение:** В прямоугольном треугольнике ABC, угол C прямой. Высота CH опущена на гипотенузу AB. Нам нужно найти \(sin∠ABC\). Обозначим \(∠ABC\) как \(∠B\). Синус угла B в прямоугольном треугольнике ABC равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе AB: $$sinB = \frac{AC}{AB}$$. Чтобы найти AB, нужно использовать свойства подобных треугольников. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC (по двум углам). Тогда $$\frac{CH}{BC} = \frac{AC}{AB}$$. С другой стороны, треугольник CBH подобен треугольнику ABC, значит $$\frac{CH}{AC} = \frac{BC}{AB}$$. Известно, что \(AC = 75\) и \(CH = 9\sqrt{69}\). Произведение этих подобий дает: $$\frac{CH^2}{AC \cdot BC} = \frac{AC \cdot BC}{AB^2}$$, или \(CH^2 = \frac{AC^2 \cdot BC^2}{AB^2}\). Но это не помогает найти AB. \( Вместо этого, найдем площадь треугольника двумя способами: \(S = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot CH\). Тогда \(AC \cdot BC = AB \cdot CH\), или \(75 \cdot BC = AB \cdot 9\sqrt{69}\), то есть \(BC = \frac{9\sqrt{69}}{75}AB\). Из теоремы Пифагора следует, что \(AB^2 = AC^2 + BC^2 = 75^2 + BC^2\). Подставив значение BC, получим: \(AB^2 = 75^2 + (\frac{9\sqrt{69}}{75}AB)^2 = 75^2 + \frac{81 \cdot 69}{75^2}AB^2\). \(AB^2(1 - \frac{81 \cdot 69}{75^2}) = 75^2\), \(AB^2(1 - \frac{5589}{5625}) = 5625\), \(AB^2(\frac{36}{5625}) = 5625\), \(AB^2 = \frac{5625^2}{36}\), \(AB = \frac{5625}{6} = \frac{1875}{2} = 937.5\). $$sinB = \frac{AC}{AB} = \frac{75}{937.5} = \frac{75}{\frac{1875}{2}} = \frac{150}{1875} = \frac{2}{25} = 0.08$$ **Ответ:** $sin∠ABC = 0.08$