7. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла A, если DB = 8, а BC=16.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, $$BC$$ - катет, а $$AB$$ - гипотенуза. $$DB$$ - проекция катета $$BC$$ на гипотенузу. \ Используем теорему: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. \ $$BC^2 = AB * DB$$ \ $$16^2 = AB * 8$$ \ $$256 = AB * 8$$ \ $$AB = \frac{256}{8} = 32$$ \ $$AD = AB - DB = 32 - 8 = 24$$ \ $$cos A = \frac{AC}{AB}$$ \ Треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$ подобны (оба прямоугольные и имеют общий острый угол $$A$$). \ Значит $$\angle A = \angle BCD$$. Рассмотрим треугольник $$BCD$$: \ $$BC = 16$$, $$BD = 8$$ \ $$sin(\angle BCD) = \frac{BD}{BC} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$ \ $$\angle BCD = arcsin(\frac{1}{2}) = 30$$ \ $$\angle A = 30$$ \ Ответ: 30