8. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла A, если DB = 3, а BC = 6.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, $$BC$$ - катет, а $$AB$$ - гипотенуза. $$DB$$ - проекция катета $$BC$$ на гипотенузу. Используем теорему: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. $$BC^2 = AB * DB$$ $$6^2 = AB * 3$$ $$36 = AB * 3$$ $$AB = \frac{36}{3} = 12$$ $$AD = AB - DB = 12 - 3 = 9$$ $$cos A = \frac{AC}{AB}$$ Треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$ подобны (оба прямоугольные и имеют общий острый угол $$A$$). Значит $$\angle A = \angle BCD$$. Рассмотрим треугольник $$BCD$$: $$BC = 6$$, $$BD = 3$$ $$sin(\angle BCD) = \frac{BD}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ $$\angle BCD = arcsin(\frac{1}{2}) = 30$$ $$\angle A = 30$$ Ответ: 30