262 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внеш- ний угол при вершине А равен 120°, АС + АВ = 18 см. Найди- те АС и АВ.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) внешний угол при вершине \(A\) равен \(120^\circ\), \(AC + AB = 18\) см. Требуется найти \(AC\) и \(AB\).

Внешний угол при вершине \(A\) равен \(120^\circ\), значит, внутренний угол \(A\) равен \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).

Так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), а угол \(C\) прямой (\(90^\circ\)), то угол \(B\) равен \(180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике против угла в \(30^\circ\) лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, \(AC = \frac{1}{2} AB\).

Подставим это в уравнение \(AC + AB = 18\):

$$\frac{1}{2} AB + AB = 18$$

$$\frac{3}{2} AB = 18$$

$$AB = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12\text{ см}$$

Тогда \(AC = 18 - AB = 18 - 12 = 6\text{ см}\).

Ответ: \(AC = 6\text{ см}\), \(AB = 12\text{ см}\)