267 В треугольниках АВС И АВ₁С₁ углы А и А₁ — прямые, BD и В₁D1 биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ∆ А1В1С1, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D1.

В треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) углы \(A\) и \(A_1\) - прямые, \(BD\) и \(B_1D_1\) - биссектрисы. Докажите, что \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\), если \(\angle B = \angle B_1\) и \(BD = B_1D_1\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\). У них сторона \(BD = B_1D_1\). Угол \(ABD = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \angle B_1 = A_1B_1D_1\) (т.к. \(BD\) и \(B_1D_1\) - биссектрисы).

Значит, прямоугольные треугольники \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\) равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, \(AB = A_1B_1\).

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). У них сторона \(AB = A_1B_1\). Угол \(\angle B = \angle B_1\). Угол \(\angle A = \angle A_1 = 90^\circ\).

Значит, треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано