4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 82, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

1. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 45°, следовательно, второй острый угол тоже равен 45° (90° - 45° = 45°). Это означает, что треугольник равнобедренный.

2. Пусть катеты равны a. Тогда по теореме Пифагора:

$$a^2 + a^2 = 82^2$$

$$2a^2 = 6724$$

$$a^2 = 3362$$

$$a = \sqrt{3362}$$

3. Площадь прямоугольного равнобедренного треугольника равна половине квадрата катета: $$S = \frac{1}{2} \cdot a^2$$

$$S = \frac{1}{2} \cdot 3362 = 1681$$

Ответ: 1681