7. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

1. Проведем высоты в равнобедренной трапеции из вершин верхнего основания к нижнему. Получим два прямоугольных треугольника по бокам и прямоугольник посередине.

2. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников. Угол при основании равен 45°, значит, второй острый угол тоже равен 45°, следовательно, треугольник равнобедренный. Катеты равны высоте трапеции h и отрезку x на нижнем основании. Так как основания равны 4 и 8, то 2x = 8 - 4 = 4, значит, x = 2.

Итак, высота трапеции h = x = 2.

3. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$

В данном случае, a = 4, b = 8, h = 2.

$$S = \frac{4+8}{2} \cdot 2 = \frac{12}{2} \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$$

Ответ: 12