4. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 4 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке D, причем AD = 4 см и DB = 6 см. Пусть радиус вписанной окружности r = 4 см. Обозначим точки касания окружности со сторонами AC и BC как E и F соответственно. Тогда CE = CF = r = 4 см. Пусть AE = x и BF = y. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, имеем: AE = AD = x = 4 см BF = BD = y = 6 см Тогда AC = AE + EC = 4 + 4 = 8 см BC = BF + FC = 6 + 4 = 10 см Гипотенуза AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 см Периметр треугольника ABC равен: P = AC + BC + AB = 8 + 10 + 10 = 28 см Ответ: Периметр треугольника равен 28 см.