В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 3 см и 10 см. Найдите радиус окружности, если периметр треугольника равен 30 см.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Обозначения: Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом C. Пусть вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке D, катета BC в точке E, и катета AC в точке F.
2. Отрезки гипотенузы: По условию, гипотенуза AB разделена точкой касания D на отрезки AD = 3 см и DB = 10 см. Значит, длина гипотенузы AB = AD + DB = 3 + 10 = 13 см.
3. Свойство касательных: Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны. Отсюда: AD = AF = 3 см. DB = BE = 10 см.
4. Катеты: Длина катета AC = AF + FC. Длина катета BC = BE + EC.
5. Радиус вписанной окружности: В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности (r) равен отрезку, где касательная является перпендикуляром к катету, т.е. CE = CF = r.
6. Выражаем катеты через r: AC = 3 + r. BC = 10 + r.
7. Периметр: Периметр треугольника P = AB + AC + BC. По условию P = 30 см.
8. Подставляем значения: 30 = 13 + (3 + r) + (10 + r).
9. Решаем уравнение: 30 = 13 + 3 + r + 10 + r
10. 30 = 26 + 2r
11. 2r = 30 - 26
12. 2r = 4
13. r = 2 см.

Ответ: 2 см