5. В прямоугольную трапецию с основаниями а и в вписана окружность радиуса г. Докажите, что г = \frac{ab}{a+b}.

Ответ: доказано, что r = \frac{ab}{a+b}

Попробуем доказать утверждение:

1. В прямоугольной трапеции с основаниями a и b вписана окружность радиуса r.
2. Высота трапеции равна 2r (так как окружность вписана).
3. Пусть боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна высоте, то есть 2r. Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее основание.
4. Получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза является второй боковой стороной трапеции, один катет равен a - b, а другой катет равен высоте, то есть 2r.
5. Так как в трапецию вписана окружность, сумма противоположных сторон равна, то есть a + b = 2r + c, где c — боковая сторона трапеции.
6. Выразим c из теоремы Пифагора: c = \sqrt{(a - b)^2 + (2r)^2}.
7. Подставим это в равенство сумм сторон: a + b = 2r + \sqrt{(a - b)^2 + (2r)^2}.
8. Выразим квадратный корень: \sqrt{(a - b)^2 + (2r)^2} = a + b - 2r.
9. Возведем обе части в квадрат: (a - b)^2 + (2r)^2 = (a + b - 2r)^2.
10. Раскроем скобки: a^2 - 2ab + b^2 + 4r^2 = a^2 + b^2 + 4r^2 + 2ab - 4ar - 4br.
11. Упростим выражение: -2ab = 2ab - 4ar - 4br.
12. Перенесем все в одну сторону: 4ab = 4ar + 4br.
13. Разделим обе части на 4: ab = ar + br.
14. Вынесем r за скобки: ab = r(a + b).
15. Выразим r: r = \frac{ab}{a + b}.

Ответ: доказано, что r = \frac{ab}{a+b}