5. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Найдите площадь этого треугольника, если точка касания делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см.

Пусть прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. Окружность вписана в этот треугольник, и точка касания с гипотенузой AB делит её на отрезки 5 см и 12 см. Пусть точка касания делит гипотенузу на отрезки $$x = 5$$ см и $$y = 12$$ см. Тогда гипотенуза равна $$c = x + y = 5 + 12 = 17$$ см. Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами AC и BC как D и E соответственно. Пусть радиус вписанной окружности равен r. Тогда CD = CE = r. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, AD = 5 см и BE = 12 см. Тогда AC = 5 + r и BC = 12 + r. Применим теорему Пифагора: $$(5 + r)^2 + (12 + r)^2 = 17^2$$ $$25 + 10r + r^2 + 144 + 24r + r^2 = 289$$ $$2r^2 + 34r + 169 = 289$$ $$2r^2 + 34r - 120 = 0$$ $$r^2 + 17r - 60 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 17^2 - 4(-60) = 289 + 240 = 529$$ $$r = \frac{-17 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{-17 \pm 23}{2}$$ $$r_1 = \frac{-17 + 23}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$r_2 = \frac{-17 - 23}{2} = \frac{-40}{2} = -20$$ (не подходит, так как радиус не может быть отрицательным) Итак, радиус вписанной окружности равен 3 см. Тогда AC = 5 + 3 = 8 см и BC = 12 + 3 = 15 см. Площадь прямоугольного треугольника ABC: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 4 \cdot 15 = 60$$ см$$^2$$. Ответ: 60 см$$^2$$