428. В равнобедренном прямоугольном треугольнике найдите: а) гипотенузу, если катет равен: 4 см; 2/2 см; а см; б) катет, если гипотенуза равна: 10 см; √2 см; с см.

а) Дано: катет равен 4 см, 2√2 см, a см. Найти: гипотенузу.

Решение:

• В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Гипотенуза c связана с катетом a теоремой Пифагора:

\[c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\] \[c = a\sqrt{2}\]

• Если катет равен 4 см, то гипотенуза равна:

\[c = 4\sqrt{2}\]

• Если катет равен 2√2 см, то гипотенуза равна:

\[c = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4\]

• Если катет равен a см, то гипотенуза равна:

\[c = a\sqrt{2}\]

• Ответ: 4√2 см, 4 см, a√2 см.

б) Дано: гипотенуза равна 10 см, √2 см, c см. Найти: катет.

Решение:

• В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза c связана с катетом a соотношением:

\[c = a\sqrt{2}\] \[a = \frac{c}{\sqrt{2}}\]

• Если гипотенуза равна 10 см, то катет равен:

\[a = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\]

• Если гипотенуза равна √2 см, то катет равен:

\[a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1\]

• Если гипотенуза равна c см, то катет равен:

\[a = \frac{c}{\sqrt{2}}\]

• Ответ: 5√2 см, 1 см, c/√2 см.