185. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена высота AD. Известно, что BD = 4 см, DC = 16 см. Найдите основание АС треугольника. Сколько решений имеет задача?

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. AD - высота, следовательно, треугольник ADC - прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора:

$$ AD = \sqrt{AC^2 - DC^2} $$

Так как AB = BC, то BD = CD = 4 см + 16 см = 20 см. Следовательно, AB = BC = 20 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Тогда:

$$ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{20^2 - 4^2} = \sqrt{400 - 16} = \sqrt{384} $$ см

Тогда:

$$ AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{384 + 16^2} = \sqrt{384 + 256} = \sqrt{640} = 8\sqrt{10} $$ см

Ответ: $$8\sqrt{10} $$ см, 1 решение.