5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС (рис. 2) проведены биссектрисы АК и СМ. Докажите, что ВК = ВМ.

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.

АК и СМ - биссектрисы, значит, ∠MAC = ∠BAC : 2 и ∠MCA = ∠BCA : 2. Следовательно, ∠MAC = ∠MCA.

Рассмотрим треугольник АМС. В нем ∠MAC = ∠MCA, значит, треугольник АМС - равнобедренный с основанием АМ, следовательно, АМ = МС.

Так как треугольник АВС - равнобедренный, то АВ = ВС.

Выразим:

ВМ = АВ - АМ;

ВК = ВС - СК.

Так как АВ = ВС и АМ = СК, то ВМ = ВК.

Ответ: ВК = ВМ.