5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС (рис. 2) проведены медианы АК и СМ. Докажите, что ∠AMC = ∠CKА.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Проведены медианы AK и CM. Тогда AM = MC = 1/2 AC, т.к. медиана делит сторону пополам.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.

AK и CM – медианы, следовательно, BK = KC.

Рассмотрим треугольники АМС и СКА. У них сторона АС - общая, АМ = СК (т.к. AM = MC = 1/2 AC и CK = KB =1/2 BC, а AC = BC как боковые стороны равнобедренного треугольника), ∠MAC = ∠KCA (как углы при основании равнобедренного треугольника АВС). Следовательно, треугольники АМС и СКА равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, следовательно, ∠AMC = ∠CKА.

Ответ: ∠AMC = ∠CKА.