10.В равнобедренном треугольнике АВС внешний угол при основании равен 150°, а медиана ВМ, проведённая к основанию, равна 38. Найдите боковую сторону треугольника АВС.

В равнобедренном треугольнике ABC внешний угол при основании равен 150°, следовательно, внутренний угол при основании равен:

$$180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$$.

Тогда угол при вершине B равен:

$$180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$$.

Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является высотой и биссектрисой. Следовательно, треугольник ABM является прямоугольным, а угол ABM равен:

$$\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ}$$.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Тогда:

$$\angle BAM = 30^{\circ}$$.

$$\sin 60^{\circ} = \frac{BM}{AB}$$.

$$AB = \frac{BM}{\sin 60^{\circ}}$$.

$$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

$$AB = \frac{38}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{38 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{76}{\sqrt{3}} = \frac{76\sqrt{3}}{3}$$.

Ответ: $$\frac{76\sqrt{3}}{3}$$