119 В равнобедренном треугольнике DEK с ос- нованием DK = 16 см отрезок EF - биссектри- ca, ∠DEF = 43°. Найдите KF, ∠DEK, ZEFD.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$DEK$$, в котором $$DE = EK$$, $$DK = 16$$ см, $$EF$$ - биссектриса, $$∠DEF = 43°$$. Необходимо найти $$KF$$, $$∠DEK$$ и $$∠EFD$$.

1) Так как $$EF$$ - биссектриса, то $$∠DEF = ∠FEK = 43°$$. Тогда $$∠DEK = ∠DEF + ∠FEK = 43° + 43° = 86°$$.

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $$∠EDK = ∠EKD$$.

Сумма углов треугольника равна 180°, отсюда можно найти $$∠EDK$$.

$$∠EDK = (180° - ∠DEK) : 2 = (180° - 86°) : 2 = 94° : 2 = 47°$$.

3) Рассмотрим треугольник $$DEF$$. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно,

$$∠DFE = 180° - ∠EDF - ∠DEF = 180° - 47° - 43° = 90°$$.

$$∠EFD$$ является смежным к углу $$∠DFE$$. Сумма смежных углов равна 180°. Следовательно,

$$∠EFD = 180° - ∠DFE = 180° - 90° = 90°$$.

То есть $$EF$$ является не только биссектрисой, но и высотой.

4) Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является медианой. Значит, $$DF = KF$$.

Так как $$DK = 16$$ см, то $$KF = DK : 2 = 16 : 2 = 8$$ см.

Ответ: $$KF = 8$$ см, $$∠DEK = 86°$$, $$∠EFD = 90°$$.