5. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания 10 и 20 см. Найдите площадь трапеции.

5. Пусть a и b - основания трапеции, c - боковая сторона, h - высота.

Площадь трапеции:

$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$

Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему. Высоты отсекут два прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. Катетом данного прямоугольного треугольника является высота трапеции, гипотенузой - боковая сторона. Второй катет равен полуразности оснований трапеции.

$$x = \frac{b - a}{2}$$

$$x = \frac{20 - 10}{2}$$

$$x = \frac{10}{2}$$

$$x = 5 \text{ см}$$

По теореме Пифагора:

$$h^2 = c^2 - x^2$$

$$h = \sqrt{c^2 - x^2}$$

Известно: a = 10 см, b = 20 см, с = 13 см.

Найти: S.

Решение:

$$h = \sqrt{13^2 - 5^2}$$

$$h = \sqrt{169 - 25}$$

$$h = \sqrt{144}$$

$$h = 12 \text{ см}$$

$$S = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12$$

$$S = \frac{30}{2} \cdot 12$$

$$S = 15 \cdot 12$$

$$S = 180 \text{ см}^2$$

Ответ: 180 см²