17. В равнобедренной трапеции известны высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание. Ответ:

Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями $$a$$ (меньшее основание) и $$b$$ (большее основание), высотой $$h$$ и углом при основании $$\alpha$$. В данном случае $$b = 14$$, $$h = 5$$, $$\alpha = 45^{\circ}$$.

Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Получим два прямоугольных треугольника и прямоугольник. Так как трапеция равнобедренная, эти прямоугольные треугольники равны.

Обозначим длину отрезка, отсекаемого высотой на большем основании, как $$x$$. Тогда $$tg(\alpha) = \frac{h}{x}$$

Так как $$\alpha = 45^{\circ}$$, то $$tg(45^{\circ}) = 1$$. Следовательно: $$1 = \frac{5}{x}$$ $$x = 5$$ Так как таких отрезков два (по одному с каждой стороны трапеции), то общая длина этих отрезков равна $$2x = 2 \cdot 5 = 10$$.

Меньшее основание трапеции можно найти, вычитая из большего основания длины этих двух отрезков: $$a = b - 2x = 14 - 10 = 4$$ Таким образом, меньшее основание равно 4.

Ответ: 4