17. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание. Ответ:

Обозначим вершины трапеции как ABCD, где BC - меньшее основание, AD - большее основание, и высота опущена из вершины B на основание AD, назовём точку H. Тогда BH - высота, $$BH = 5$$, $$BC = 7$$, угол $$ \angle BAD = 45^\circ$$.

Так как трапеция равнобедренная, $$AB = CD$$, и углы при основании равны. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В этом треугольнике угол $$ \angle BAH = 45^\circ$$, следовательно, угол $$ \angle ABH = 45^\circ$$. Это означает, что треугольник ABH равнобедренный, и $$AH = BH = 5$$.

Теперь найдём длину большего основания AD. Так как трапеция равнобедренная, то $$AH = (AD - BC) / 2$$. Таким образом, $$AD = BC + 2 \cdot AH$$.

Подставим известные значения: $$AD = 7 + 2 \cdot 5 = 7 + 10 = 17$$.

Ответ: 17