3. В равнобедренной трапеции основания равны 4 см и 8 см, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC = 4 см, AD = 8 см, и угол при основании, например, угол BAD = 45°. Проведем высоту BH к основанию AD. Так как трапеция равнобедренная, то AH = (AD - BC) / 2 = (8 - 4) / 2 = 4 / 2 = 2 см. В прямоугольном треугольнике ABH угол BAH = 45°, следовательно, угол ABH = 90° - 45° = 45°. Значит, треугольник ABH равнобедренный, и BH = AH = 2 см. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = ((BC + AD) / 2) * BH = ((4 + 8) / 2) * 2 = (12 / 2) * 2 = 6 * 2 = 12$$ см$$^2$$. Ответ: 12 см$$^2$$.