3. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность, касающаяся сторон в точках Е, М и К. Известно, что АМ = 4, BE = 9. Найти периметр треугольника АВС.

Пусть ABC – равнобедренный треугольник с основанием AC. Окружность вписана в треугольник ABC и касается сторон AB, BC и AC в точках E, M и K соответственно. Известно, что AM = 4 и BE = 9. Так как касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны, то: AE = AM = 4 BE = BK = 9 CM = CK = x Тогда стороны треугольника равны: AB = AE + EB = 4 + 9 = 13 BC = BK + KC = 9 + x AC = AM + MC = 4 + x Поскольку треугольник ABC равнобедренный и AB = BC, то: 13 = 9 + x x = 4 Следовательно, AC = 4 + 4 = 8 и BC = 9 + 4 = 13. Периметр треугольника ABC равен: P = AB + BC + AC = 13 + 13 + 8 = 34 Периметр треугольника ABC равен 34.