4. В треугольнике ABC ∠A = 50°, ∠B = 60°. Под какими углами видны стороны AB, BC и CD из центра вписанной окружности?

Обозначим центр вписанной окружности как точку O. Найдем угол C треугольника ABC: \[\angle C = 180^circ - \angle A - \angle B = 180^circ - 50^circ - 60^circ = 70^circ\] Так как O – центр вписанной окружности, то AO, BO и CO – биссектрисы углов A, B и C соответственно. Следовательно: \[\angle OAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{50^circ}{2} = 25^circ\] \[\angle OBA = \frac{\angle B}{2} = \frac{60^circ}{2} = 30^circ\] \[\angle OCB = \frac{\angle C}{2} = \frac{70^circ}{2} = 35^circ\] Рассмотрим треугольник AOB: \[\angle AOB = 180^circ - \angle OAB - \angle OBA = 180^circ - 25^circ - 30^circ = 125^circ\] Рассмотрим треугольник BOC: \(\angle OBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{60^circ}{2} = 30^circ\) \[\angle OCB = \frac{\angle C}{2} = \frac{70^circ}{2} = 35^circ\] \[\angle BOC = 180^circ - \angle OBC - \angle OCB = 180^circ - 30^circ - 35^circ = 115^circ\] Рассмотрим треугольник COA: \[\angle OCA = \frac{\angle C}{2} = \frac{70^circ}{2} = 35^circ\] \[\angle OAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{50^circ}{2} = 25^circ\] \[\angle COA = 180^circ - \angle OCA - \angle OAC = 180^circ - 35^circ - 25^circ = 120^circ\] Таким образом: Сторона AB видна из точки O под углом 125°. Сторона BC видна из точки O под углом 115°. Сторона AC видна из точки O под углом 120°.