6) В равностороннем треугольнике АВС точка М пересечение медиан. Докажите, что треугольник АМС равнобедренный. Найдите высоту треугольника АМС, проведенную к стороне АС. Ссли МС-14

Дано: треугольник ABC - равносторонний, M - точка пересечения медиан, MC = 14.

Доказать: треугольник AMC - равнобедренный.

Найти: высоту треугольника AMC, проведенную к стороне AC.

Решение:

1. В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. А также медианы являются и высотами, и биссектрисами.

2. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, AM = CM.

3. Таким образом, треугольник AMC - равнобедренный, так как AM = CM.

4. Высота равностороннего треугольника ABC равна медиане. Точка М делит медиану в отношении 2:1. Следовательно, высота, проведенная из точки М к стороне АС, составляет 1/3 от высоты треугольника ABC.

5. Треугольник AMC - равнобедренный, следовательно, высота, проведенная к стороне АС, является и медианой. Обозначим высоту через МH. Рассмотрим прямоугольный треугольник МНС. ∠MCH = 30°, МС = 14. Катет МН лежит против угла 30°, следовательно МH = 1/2 * МС = 1/2 * 14 = 7.

Ответ: 7