В ромбе ABCD биссектриса угла DCA перпендикулярна стороне AD. Найдите углы ромба.

Пусть сторона ромба имеет длину \(s\), а \(\angle DAB=\theta\). Направление диагонали \(AC\) образует с \(AB\) угол \(\theta/2\), поэтому \(\angle DCA=\theta/2\). Биссектриса этого угла образует угол \(\theta/4\) с \(CA\).

Направление стороны \(AD\) образует угол \(\theta\) с \(AB\), а направление прямой, перпендикулярной \(AD\), отличается на \(90^\circ\). Условие перпендикулярности даёт \(\theta/2+\theta/4=90^\circ\), откуда \(\theta=120^\circ\). Смежные углы ромба равны \(60^\circ\).

Ответ: \(\angle A=\angle C=120^\circ\), \(\angle B=\angle D=60^\circ\).