10. В ромбе ABCD диагональ AC пересекает высоту DM, проведенную к стороне BC, в точке P. Найдите длины отрезков DP и PM, если сторона ромба равна 17 см, а высота равна 8 см.

Решение:

В ромбе все стороны равны, поэтому AB = BC = CD = DA = 17 см.

DM - высота, проведенная к стороне BC, следовательно, DM = 8 см.

Рассмотрим треугольник CDM. Он прямоугольный, так как DM - высота.

По теореме Пифагора найдем CM:

$$CD^2 = DM^2 + CM^2$$

$$17^2 = 8^2 + CM^2$$

$$289 = 64 + CM^2$$

$$CM^2 = 289 - 64 = 225$$

$$CM = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$

Тогда BM = BC - CM = 17 - 15 = 2 см.

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, угол BCA равен углу DCA.

Рассмотрим треугольники BDM и CDP. Они подобны, так как углы при вершине P вертикальные, а углы DBC и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Из подобия следует пропорция:

$$\frac{DP}{MP} = \frac{CD}{BM} = \frac{17}{2}$$

Также известно, что DP + PM = DM = 8 см.

Пусть DP = x, тогда PM = 8 - x.

Подставим в пропорцию:

$$\frac{x}{8 - x} = \frac{17}{2}$$

$$2x = 17(8 - x)$$

$$2x = 136 - 17x$$

$$19x = 136$$

$$x = \frac{136}{19} \text{ см}$$

DP = $$\frac{136}{19}$$ см, PM = $$8 - \frac{136}{19} = \frac{152 - 136}{19} = \frac{16}{19}$$ см

Ответ: DP = $$\frac{136}{19}$$ см, PM = $$\frac{16}{19}$$ см.