В1. Середины оснований трапеции соединены отрезком. Докажите, что полученные две трапеции равновелики.

В1. Середины оснований трапеции соединены отрезком. Докажите, что полученные две трапеции равновелики.

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC - основания, а M и N - середины оснований AD и BC соответственно. Отрезок MN соединяет середины оснований. Нужно доказать, что площади трапеций ABNM и MNCD равны.

1. Площадь трапеции ABCD равна:

$$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$$

2. MN - средняя линия трапеции, поэтому:

$$MN = \frac{AD + BC}{2}$$

3. Высота каждой из трапеций ABNM и MNCD равна половине высоты исходной трапеции, то есть $$h/2$$.

4. Площадь трапеции ABNM равна:

$$S_{ABNM} = \frac{MN + BC}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{\frac{AD + BC}{2} + BC}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{AD + 3BC}{8} \cdot h$$

5. Площадь трапеции MNCD равна:

$$S_{MNCD} = \frac{MN + AD}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{\frac{AD + BC}{2} + AD}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{3AD + BC}{8} \cdot h$$

6. Чтобы доказать, что площади равны, нужно показать, что $$S_{ABNM} = S_{MNCD}$$:

$$ \frac{AD + 3BC}{8} \cdot h = \frac{3AD + BC}{8} \cdot h$$

Это неверно в общем случае. Однако, если рассмотреть другую логику:

Предположим, что трапеция разделена средней линией на две трапеции с равными высотами h/2.

Тогда площадь верхней трапеции равна S1 = ((a+c)/2) * (h/2), а площадь нижней трапеции равна S2 = ((c+b)/2) * (h/2), где a и b - основания исходной трапеции, c - средняя линия.

c = (a+b)/2. Подставим это значение в S1 и S2.

S1 = ((a + (a+b)/2) / 2) * (h/2) = (3a+b)h / 8

S2 = (((a+b)/2 + b) / 2) * (h/2) = (a+3b)h / 8

Чтобы S1 = S2, нужно чтобы (3a+b) = (a+3b) => 2a = 2b => a = b. Значит, это верно только для параллелограмма, а не для трапеции общего вида.

Если трапеция является параллелограммом (a=b), то площади полученных трапеций равны. В общем случае для трапеции это не так.

Ответ: Доказательство выполнено только для параллелограмма. Для трапеции общего вида утверждение неверно.