14. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — два штрафных очка, за каждый последующий промах — на 0,5 штрафных очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 15 штрафных очков?

Пусть x - количество промахов. Тогда штраф за промахи будет арифметической прогрессией с первым членом 2 и разностью 0,5. Сумма арифметической прогрессии равна \(S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\), где n - число членов, a_1 - первый член, a_n - последний член. В нашем случае \(a_1 = 2\), \(a_n = 2 + 0.5(x-1)\), \(n = x\). Таким образом, общая сумма штрафных очков за x промахов равна: \(S = \frac{x(2 + 2 + 0.5(x-1))}{2} = \frac{x(4 + 0.5x - 0.5)}{2} = \frac{x(3.5 + 0.5x)}{2}\). Мы знаем, что стрелок получил 15 штрафных очков, следовательно, \(\frac{x(3.5 + 0.5x)}{2} = 15\). Умножим обе части на 2: \(x(3.5 + 0.5x) = 30\). Раскроем скобки: \(0.5x^2 + 3.5x = 30\). Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: \(x^2 + 7x = 60\). Перенесем все в левую часть: \(x^2 + 7x - 60 = 0\). Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4*1*(-60) = 49 + 240 = 289\). Тогда \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 \pm 17}{2}\). Мы имеем два решения: \(x_1 = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5\) и \(x_2 = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12\). Поскольку количество промахов не может быть отрицательным, то \(x = 5\). Так как всего было 25 выстрелов и 5 промахов, количество попаданий равно \(25 - 5 = 20\). Ответ: 20