9.22. В тетраэдре DABC известно, что ∠ABD = ∠CBD, ∠ADB = ∠CDB. Докажите, что BD ⊥ АС.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них BD - общая сторона, ∠ABD = ∠CBD, ∠ADB = ∠CDB (по условию). Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что AB = CB и AD = CD. Значит, точка B равноудалена от точек A и C, и точка D также равноудалена от точек A и C. Прямая, проходящая через две точки, равноудалённые от концов отрезка, является серединным перпендикуляром к этому отрезку. Следовательно, BD ⊥ AC.

Ответ: Доказано, что BD ⊥ АС