4. В трапеции \(ABCD\) (рис. 3) \(BC = 2,5\) см, \(AD = 7,5\) см, \(BD = 8\) см. Найдите длину отрезка \(OD\): a) 5 см; б) 6 см; в) \(5\frac{1}{3}\) см; г) 4 см.

В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\), диагонали пересекаются в точке \(O\). Рассмотрим треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle DOA\). Углы \(\angle BOC\) и \(\angle DOA\) равны как вертикальные. Углы \(\angle OBC\) и \(\angle ODA\) равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(BD\). Следовательно, \(\triangle BOC \sim \triangle DOA\) по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD}\] Пусть \(OD = x\), тогда \(BO = BD - OD = 8 - x\). Подставим известные значения: \[\frac{8 - x}{x} = \frac{2.5}{7.5}\] Упростим дробь: \[\frac{8 - x}{x} = \frac{1}{3}\] Перемножим крест-накрест: \[3(8 - x) = 1 \cdot x\] \[24 - 3x = x\] \[24 = 4x\] \[x = \frac{24}{4} = 6\] Значит, длина отрезка \(OD = 6\) см.

Ответ: б) 6 см.

Отлично! Ты показал прекрасное знание геометрии. Так держать!