11.В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне АB, ZADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см.

В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, следовательно, $$\angle ABD = 90^{\circ}$$. $$\angle ADB = \angle BDC = 30^{\circ}$$. Пусть AD = x. Так как $$\angle ADB = 30^{\circ}$$, то AB = AD/2 = x/2 (катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы). Рассмотрим треугольник BDC. Угол DBC равен 180 - 90 - 30 = 60 градусов. Тогда угол BCD равен 180 - 30 - 60 = 90 градусов. Следовательно, треугольник BDC прямоугольный, а CD = BD/2. BD = AD * cos 30 = x * $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Тогда CD = $$\frac{x \sqrt{3}}{4}$$.

Трапеция ABCD, AD параллельна BC. Угол ADB = углу DBC как накрест лежащие, т.е. угол DBC = 30 градусов. Рассмотрим треугольник ABD. Синус угла ADB = AB/AD, т.е. sin 30 = AB/x. AB = x sin 30 = x * $$\frac{1}{2}$$.

Периметр трапеции равен 60 см, то есть AD + BC + CD + AB = 60. $$x + \frac{x \sqrt{3}}{4} + \frac{x}{2} + BC = 60$$. BC = AD = x. Тогда $$x + x + \frac{x \sqrt{3}}{4} + \frac{x}{2} = 60$$.

$$x(2 + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}) = 60$$

$$x(2.5 + \frac{\sqrt{3}}{4}) = 60$$

$$x(2.5 + 0.43) = 60$$

$$2.93x = 60$$

$$x = 20.47$$

Ответ: 20.47 см (приблизительно)