13. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если AD = 24 см, ВС = 16 см, ∠A = 45°, ∠D = 90°.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

$$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$$

$$AD = 24$$ см, $$BC = 16$$ см. Проведем высоту BH из вершины B. Треугольник ABH прямоугольный, т.к. BH - высота. Угол A равен 45 градусам, значит, угол ABH равен 90 - 45 = 45 градусов. Следовательно, AH = BH = h. HD = AD - AH = 24 - h.

Проведем высоту CK из вершины C. CK = BH = h. KD = AD - AK = 24 - AK. AK = BC = 16. HD = 24 - 16 = 8 см.

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где $$\angle D = 90^{\circ}$$. BH - высота. $$\angle A = 45^{\circ}$$. Тогда треугольник ABH - равнобедренный и прямоугольный. AH = BH = h.

Так как ABCD - трапеция, то BC параллельна AD. $$AH = AD - HD = 24 - 8 = 16$$ см.

Следовательно, BH = 8 см. Значит, $$h = 8$$ см.

$$S = \frac{24 + 16}{2} \cdot 8 = \frac{40}{2} \cdot 8 = 20 \cdot 8 = 160$$

Ответ: 160 кв. см.