4. В трапеции ABCD (рис. 3) BC = 3,5 см, AD = 10,5 см, АС = 12 см. Найдите длину отрезка АО: а) 9,6 см; б) 9 см; в) 6 см; г) 4 см.

Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 3). Так как BC || AD, то треугольники BOC и DOA подобны. Значит, углы при основаниях равны. Тогда треугольники, образованные диагоналями, также подобны. Значит: $$\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD}$$ $$\frac{CO}{OA} = \frac{3,5}{10,5}$$ $$\frac{CO}{OA} = \frac{1}{3}$$ $$OA = 3CO$$ $$AC = AO + OC$$ $$12 = AO + OC$$ $$12 = 3CO + OC$$ $$12 = 4OC$$ $$OC = \frac{12}{4} = 3$$ $$AO = 3 \cdot OC$$ $$AO = 3 \cdot 3 = 9$$

Ответ: б) 9 см.