5. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, ВС : AD = 3 : 5, AC = 24 см. Найдите отрезки ВО и OD.

5. Дано: ABCD - трапеция, BC : AD = 3 : 5, AC = 24 см, диагонали пересекаются в точке O.

Найти: BO, OD.

Решение:

Рассмотрим треугольники BOC и AOD. Поскольку BC || AD (ABCD - трапеция), то ∠BCO = ∠DAO и ∠CBO = ∠ADO как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущих AC и BD соответственно. Следовательно, ΔBOC ~ ΔAOD (по двум углам).

Из подобия следует, что $$\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{5}$$

Обозначим BO = 3x, OD = 5x. Тогда BD = BO + OD = 3x + 5x = 8x.

Необходимо найти отрезки ВО и OD, но в условии AC = 24 см, а не BD. Если AC=24, то задача не имеет решения, т.к. нет информации о соотношении AO и OC.

Предположим, что в условии задачи BD = 24 см.

Тогда BD = BO + OD = 3x + 5x = 8x = 24 см.

Следовательно, x = 24 / 8 = 3 см.

BO = 3x = 3 * 3 = 9 см.

OD = 5x = 5 * 3 = 15 см.

Ответ: ВО = 9 см, OD = 15 см.