1. В трапеции АВСD диагонали пересекаются в точке О так, что АО: ОС = 2: 3. Найдите основание АВ, если DC = 15.

Рассмотрим трапецию ABCD, где диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Дано, что AO : OC = 2 : 3 и DC = 15. Необходимо найти основание AB.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Углы AOB и COD равны как вертикальные углы. Углы OAB и OCD равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей AC. Следовательно, треугольники AOB и COD подобны по двум углам.

2. Запишем отношение сходственных сторон в подобных треугольниках AOB и COD:

$$\frac{AB}{DC} = \frac{AO}{OC}$$

3. Подставим известные значения:

$$\frac{AB}{15} = \frac{2}{3}$$

4. Решим уравнение для нахождения AB:

$$AB = \frac{2}{3} \times 15$$ $$AB = 10$$

Ответ: 10