В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы A и A₁ — прямые, BD и B₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что △ABC=△A₁B₁C₁, если ∠B=∠B₁ и BD=B₁D₁.

Так как \(BD\) и \(B_1D_1\) — биссектрисы углов \(B\) и \(B_1\), то

\[\angle ABD=\frac12\angle B=\frac12\angle B_1=\angle A_1B_1D_1.\]

Кроме того, \(\angle A=\angle A_1=90^\circ\), а по условию \(BD=B_1D_1\).

Следовательно, прямоугольные треугольники \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\) равны по гипотенузе и острому углу. Значит, соответствующие элементы исходных треугольников равны, поэтому

\[\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1.\]

Что и требовалось доказать.