267 В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы А и А₁ — прямые, BD и В₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что ∆АВС = ∆А₁В₁С₁, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁:

• BD = B₁D₁ (по условию)
• ∠ABD = ∠A₁B₁D₁ (т.к. BD и B₁D₁ - биссектрисы и ∠B = ∠B₁)

Значит, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, AB = A₁B₁.

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁:

• AB = A₁B₁ (доказано выше)
• ∠B = ∠B₁ (по условию)

∠A = ∠A₁ = 90° (по условию)

Значит, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по катету и прилежащему острому углу.

Ответ: доказано.