140 В треугольниках АВС и А1В1С1 медианы ВМ и ВМ₁ равны, AB = A₁B1, AC = А1С1. Докажите, что ДАВС = ∆A1B1C1•

Доказательство:

Продлим медиану ВМ на отрезок MD = BM, а медиану B1M1 на отрезок M1D1 = B1M1. Получим параллелограммы ABCD и A1B1C1D1, так как диагонали точкой пересечения делятся пополам. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, AD = BC и A1D1 = B1C1. По условию AC = A1C1, AB = A1B1 и BM = B1M1, следовательно, BD = B1D1.

Рассмотрим треугольники ABD и A1B1D1: AB = A1B1, BD = B1D1 и AD = A1D1. Следовательно, треугольники ABD и A1B1D1 равны по трем сторонам (III признак равенства треугольников). Отсюда следует, что ∠BAD = ∠B1A1D1.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1: AB = A1B1, AC = A1C1 и ∠BAC = ∠B1A1C1 (так как ∠BAD = ∠B1A1D1). Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по двум сторонам и углу между ними (I признак равенства треугольников).

Ответ: Утверждение доказано.