1. В треугольнике ABC ∠A = 100°, ∠C = 40°. a) Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок CK – биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной AB.

a) Чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, нужно показать, что два его угла равны. В треугольнике ABC даны углы ∠A = 100° и ∠C = 40°. Найдем угол ∠B, используя тот факт, что сумма углов треугольника равна 180°: ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 100° - 40° = 40° Так как ∠B = ∠C = 40°, треугольник ABC – равнобедренный с основанием BC. Его боковые стороны – это AB и AC. б) Поскольку CK – биссектриса угла C, она делит угол C пополам. Значит, ∠ACK = ∠BCK = ∠C / 2 = 40° / 2 = 20°. Теперь рассмотрим треугольник ACK. Мы знаем, что ∠A = 100° и ∠ACK = 20°. Найдем угол ∠AKC: ∠AKC = 180° - ∠A - ∠ACK = 180° - 100° - 20° = 60° Угол, который биссектриса CK образует со стороной AB, является смежным с углом ∠AKC. Обозначим этот угол как ∠CKB. Так как сумма смежных углов равна 180°: ∠CKB = 180° - ∠AKC = 180° - 60° = 120° Итак, биссектриса CK образует со стороной AB углы в 60° и 120°. Ответ: Треугольник ABC равнобедренный, боковые стороны AB и AC. Биссектриса CK образует со стороной AB углы 60° и 120°.