5. В треугольнике ABC AB=3√2, AC=4, SABC=12. Найти BC.

Используем формулу для площади треугольника:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} cdot AB cdot AC cdot \sin A$$

$$12 = \frac{1}{2} cdot 3\sqrt{2} cdot 4 cdot \sin A$$

$$12 = 6\sqrt{2} \cdot \sin A$$

$$\sin A = \frac{12}{6\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 1$$

Так как синус угла не может быть больше 1, то условие задачи противоречиво. Либо в условии ошибка, либо треугольник с такими параметрами не существует.

Предположим, что площадь треугольника равна $$6\sqrt{2}$$.

$$\sin A = \frac{6\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = 1$$

A = 90°

Тогда можно использовать теорему Пифагора:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$

$$BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 = 18 + 16 = 34$$

$$BC = \sqrt{34}$$

Ответ: $$BC = \sqrt{34}$$ (если площадь треугольника равна $$6\sqrt{2}$$)